Não Dividirás por Zero

Existem algumas regras universais. E a maioria destas têm base matemática, a linguagem universal da natureza. Uma delas diz sucintamente: “não dividirás por zero”.

 

Todos os seres humanos deveriam aceitar facilmente esta regra. Infelizmente, vez por outra, ela é esquecida, principalmente pelos jovens – aqueles(as) que irão ditar como será o futuro da humanidade.

 

O ato de dividir está entre os mais exigentes em termos de aprendizado das quatro operações: somar, subtrair e multiplicar são tarefas escolares com algum grau de dificuldade que em nada se compara ao do entendimento da divisão, embora em essência, todas estas operações sejam conceitualmente fáceis de compreender.

 

Até mesmo em termos religiosos, a ideia de dividir está bem representada, como na passagem bíblica de Mateus 14, versículos 15 a 21, onde Jesus efetuou o milagre dos pães e peixes, alimentando uma multidão e deste modo simbolizando a partilha e a solidariedade, antecipando a Páscoa que estava por vir.

 

Um dos símbolos mais comuns da divisão envolve dois pontinhos separados por uma linha, e foi criado pelo matemático suíço Johann Heinrich Rahn (1622 - 1676) em 1659, na página dez da obra Teutsche Algebra (“Tratado de Álgebra”), sendo que os pontos representam o numerador e o denominador separados por um traço.

 

Conforme dito, a divisão de objetos em partes é essencialmente de razoável compreensão, e ilustrado a seguir. Ao se desejar dividir doze maçãs entre quatro pessoas, busca-se separar em quantidades iguais um determinado número de maçãs para cada indivíduo. Pode-se imaginar separando inicialmente uma maçã para cada um, deixando 8 maçãs ainda a dividir. Repete-se tal procedimento distribuindo mais quatro maçãs para cada um, restando outras quatro, que podem ser igualmente distribuídas, não restando nenhuma a mais para dividir. No final, cada pessoa recebeu três maçãs. Como são quatro indivíduos, cada qual com três maçãs, as doze foram partilhadas sem deixar resto. Em termos simbólicos, escreve-se doze dividido por quatro assim: 12 ¸ 4, com o primeiro pontinho em cima do traço a lembrar o numerador, doze, a ser separado, e o segundo pontinho, abaixo do traço, a lembrar quantas vezes deve-se separar o numerador. O resultado da operação, três, comumente é escrito após um sinal de igualdade à direita da representação simbólica, a lembrar o que se fez. Por fim, denomina-se o numerador de dividendo, o denominador de divisor, e o resultado é o quociente, com resto nulo.

 

Uma maneira de verificar tal procedimento é pensar reversivamente: as três maçãs distribuídas por quatro pessoas, quando multiplicadas entre si, resultam nas doze inicialmente pensadas na partilha. Ou ainda, as três maçãs cedidas a cada umas das pessoas, quando agrupadas do seguinte modo: três mais três mais três mais três, ou três quatro vezes, resulta em doze. Soma-se, portanto, três quatro vezes para resultar em doze. Dito de outro modo, o divisor vezes o quociente resulta no dividendo (lembrando que, no caso, não há resto no processo efetuado).

 

Uma dificuldade conceitual se estabelece quando se deseja dividir qualquer número, diferente de zero, por zero. Por exemplo, tentar dividir cinco em zero partes. De outro modo, questiona-se qual seria a divisão de cinco por nada. Em termos do procedimento, quantos zeros deve-se adicionar para resultar em cinco. Bem, nem mesmo adicionando infinitos zeros se atingirá cinco. Não há quociente para tal divisão. Uma outra forma de compreender tal situação é que não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em cinco, ou seja, é algo indefinido.

 

Uma outra conta muito sutil seria a de dividir zero por zero. Dito de outro modo, a pergunta é algo como descobrir quantos zeros devem ser adicionados para resultar em zero. Neste caso particular, qualquer número é a resposta: dois zeros somados resulta em zero, assim, como três zeros... dez zeros... Em termos da multiplicação, qualquer número multiplicado por zero resulta em zero. Ou seja, neste caso particular, há mais de uma resposta, então se diz que a divisão de zero por zero é indeterminada.

 

Em álgebra superior tais temas relacionados à divisão por zero são melhor compreendidos em profundidade por meio de técnicas e conceitos que envolvem limites e a natureza do infinito, assuntos estes para outros momentos.

 

Já dizia a celebre canção que “mistério sempre há de pintar por aí”. Às vezes, a matemática pode aparentar algo de esotérico, como na música do genial cantor e compositor brasileiro Gilberto Passos Gil Moreira (n. 1942). Ou como na passagem da divisão de pães e peixes de Cristo. No entanto, há diversas maneiras de dividir, desenvolvida por diferentes culturas e em épocas distintas ao redor do mundo, todas elas compreensíveis a qualquer um, representando a engenhosidade da humanidade em enfrentar tais questões.

 

Entre os matemáticos, costuma-se dizer que, após descer o Monte Sinai, e receber as tábuas com os Dez Mandamentos diretamente de Deus, Moisés os apresentou ao seu povo. No entanto, apenas mostrou a frente, e não o verso das tábuas, onde Nosso Senhor acrescentou verdades matemáticas como “não dividirás por zero”, entre outras coisas que representam as regras do universo.

 

 

Esotérico

Gilberto Gil

 

Não adianta nem me abandonar

Porque mistério sempre há de pintar por aí

Pessoas até muito mais vão lhe amar

Até muito mais difíceis que eu prá você

Que eu, que dois, que dez, que dez milhões

Todos iguais

Até que nem tanto esotérico assim

Se eu sou algo incompreensível

Meu Deus é mais

Mistério sempre há de pintar por aí

 

Não adianta nem me abandonar

Nem ficar tão apaixonada

Que nada!

Que não sabe nadar

Que morre afogada por mim

 

In: BETHANIA, CAETANO, GAL, GIL. Doces Bárbaros. [S.I.]. Phillips, 1976. 1 disco LP, Faixa 1 (4 min 5 s).

 

 

*Marcio Luis Ferreira Nascimento é professor da Escola Politécnica, Departamento de Engenharia Química da UFBA e pesquisador do SENAI-CIMATEC

 

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