Amigo Secreto Nada Oculto

Em celebrações de fim de ano, como no Natal ou Ano Novo, existe quase sempre a prática denominada amigo secreto, ou ainda amigo oculto. Nos Estados Unidos, Canadá e no Reino Unido é chamado de “Secret Santa”, “Père Noël Secret” na França, “Angelito” na Espanha e “Wichteln” ou “Julklapp” na Alemanha, com diversas variações ao redor do mundo. Tal brincadeira, que remonta a uma tradição grega milenar consiste, em lugares como em Portugal ou no Brasil, em presentear alguém via sorteio dentro de um grupo, onde se mantém o sigilo do sorteado até o último instante.

 

Geralmente, escreve-se os nomes de cada pessoa em papeizinhos de modo a proceder ao sorteio, visando determinar quem presenteia quem. Quase sempre durante tais sorteios, aparece alguém que tirou a si próprio, algo que pode representar um problema.

 

Para se evitar situações embaraçosas, costuma-se combinar antecipadamente um preço comum mínimo (ou máximo) para os presentes, ou mesmo elaborar uma lista de preferências para cada sorteado. Após uma escolha, ou ainda sorteio, alguém inicia a dinâmica da entrega dos presentes em dia e hora marcados, geralmente descrevendo características do(a) sorteado(a) até que este(a) seja descoberto(a). Tal dinâmica continua até que todos(as) participantes tenham recebido seus respectivos presentes.

 

Há um outro curioso aspecto matemático nesta brincadeira, pois cada participante sorteia alguém para presentear. Na verdade, esta é uma prática chamada permutação simples, pois é necessário primeiro efetuar todas as maneiras possíveis de organizar um grupo de pessoas.

 

Dito de outro modo, o número total de modos de se organizar as pessoas em um sorteio se dá pelo produto que envolve o número destas pessoas em ordem decrescente. Se existem apenas 3, seria três vezes dois vezes um, ou 6 possibilidades de distribuir os nomes. Se forem 4 pessoas, seria quatro vezes três vezes dois vezes um, ou 24 possibilidades de distribuição dos nomes, e assim por diante.

 

Esta situação se parece com a de escolher três bolas de sorvete dispostas num cone (ou seja, na vertical). Imagine três sabores: chocolate (C), morango (M) e flocos (F). Ao dispor tais sabores num cone, tem-se que fazer uma escolha do primeiro sabor, disposto na parte de baixo do cone. Ao escolhê-lo, restam dois sabores para sobrepor ao primeiro. E o último fica no topo, resultando em três vezes dois vezes um, ou seja, existem seis maneiras de dispor três sabores num cone.

 

Nas escolas chama-se fatorial ao produto decrescente envolvendo fatores de números inteiros consecutivos, e é definido usando-se de uma exclamação após um número. Ou seja, o fatorial de três, denominado 3!, seria igual a três vezes dois vezes um, e assim por diante. Tal nome fez sentido ao primeiro proponente, o matemático francês Christian Kramp (1760 - 1826) no livro “Elémens d’Arithmétique Universelle” (“Elementos da Aritmética Universal”) de 1808, por significar algo próximo da essência da definição que ele procurava, que seria nada mais do que o produto decrescente de fatores.

 

Há um detalhe na regra do amigo secreto que ninguém pode sortear a si mesmo. Quando há esta restrição, a permutação deixa de ser simples, e é denominada de desarranjo ou permutação caótica, onde nenhum elemento sorteado permanece na sua posição original, ao se imaginar a ordem (ou posição) entre os sorteados. Não é difícil perceber o significado disto, conforme descrito adiante.

 

Tal problema dos desarranjos (em francês, “derangement”), ou ainda subfatorial, foi proposto pelo matemático francês Pierre Rémond de Montmort (1678 - 1719) muito antes de Kramp no seu livro “Essay d’Analyse sur les Jeux de Hazard” (“Ensaio de Análise sobre de Jogos de Azar”), publicado em 1708. Curiosamente, o modo de se expressar desarranjos se dá por meio do símbolo de exclamação antes do número, e não depois, como proposto por Kramp.

 

No caso de um sorteio, se são três participantes, o primeiro é sorteado, restando apenas outros dois na sequência, ou ordem. Ao se determinar o segundo sorteado, o último é certo de se definir, havendo portando seis possibilidades ou modos de se distribuir as pessoas sorteadas. Podemos pensar em três pessoas: Carol (C), Marcelo (M) e Fernanda (F) que são sorteadas na seguinte sequencia [123], ou seja, da esquerda para a direita tem-se o primeiro, segundo e terceiro sorteados assim distribuídos, chamados de posições ou pontos fixos. As seis possibilidades de sorteio seriam: [CMF], [CFM], [MCF], [MFC], [FCM] e [FMC]. No entanto, apenas duas destas possibilidades não repetem a mesma pessoa: [MFC] e [FCM].

 

Esta situação é mais simples de entender se houver duas pessoas num sorteio, pois uma sorteia a outra e não a si mesma havendo, portanto, uma única situação de desarranjo. No entanto, há de convir que com apenas duas pessoas não há nada oculto numa brincadeira de amigo secreto.

 

Para três pessoas, há dois desarranjos, conforme ilustrado anteriormente. Para quatro pessoas, há nove desarranjos, e assim por diante. Os números que envolvem permutações e desarranjos crescem rapidamente. Para facilitar, existem sites e redes sociais que fazem tais contas e facilitam os sorteios de amigos secretos, evitando assim que alguns dos sorteados tirem seus próprios nomes durante a elaboração dos sorteios, tornando a brincadeira realmente oculta.

 

No fim, restam as brincadeiras tradicionais na forma de imitações, mimicas, trejeitos, características, paródias, situações e mesmo desenhos para facilitar a adivinhação em grupo do amigo oculto antes da entrega de algum presente, seja este típico ou inusitado.

 

* Marcio Luis Ferreira Nascimento é Professor da Escola Politécnica, Departamento de Engenharia Química e membro associado do Instituto Politécnico da Bahia UFBA

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